期待値が下振れするとき

前回に続いて「期待値」に関する話題です。前回の記事では、期待値の計算で用いられる「事象が起こる確率」と「事象が起こったときの結果」を誤って見積もることにより、期待値が現実と乖離するケースを紹介しました。今回は期待値の計算が正しくても、それを利用して失敗するケースを紹介します。

さいころを振って奇数が出れば2,000円もらえて、偶数が出れば1,000円失うゲームの期待値は、2,000×0.5－1,000×0.5=500円です。このゲームを1回やったときの期待値は500円であり、100回やると5万円儲かっていることが期待できます。現実にそんなゲームはあり得ない、怪しすぎる、といった正論は一旦無視すると、お金が嫌いな人でなければこのゲームにはぜひ参加するべきでしょう。

では、動く金額をもっと大きくしてみましょう。奇数が出れば200万円もらえて、偶数が出れば100万円失うゲームです。このゲームの期待値は50万円です。ではこのゲームは参加すべきでしょうか。あなたに十分な資金があり、多少の不運にも動じない覚悟があるなら参加すべきでしょう。しかしそうでなければよくよく検討する必要があります。

このゲームの期待値は確かに50万円です。しかし、最初のゲームが終わったときにあなたが50万円儲けているという状態はあり得ません。200万円得しているか、100万円損しているかのどちらかなのです。

不運にも3回連続偶数が出て、あなたが300万円を失ってしまう可能性は12.5％もあります。このゲームを長く続ければ、理論上は1回あたり50万円の儲けが出ることは間違いありません。しかし3連敗した結果、軍資金が尽きてしまえば4回目にチャレンジすることは叶わず、ゲームセットです。また、3連敗で大金を失って「これ以上失いたくない」と考えて自分でゲーム終了にすれば、300万円の損失が確定します。

このように、確率論的には正しいと思われる意思決定でも、収束する前に悪いほうに振れてしまった結果、失敗に終わるケースが現実に起こり得ます。

今、金融商品の営業マンから提案を受けているとします。パンフレットには、魅力的な利回りの見込みが書かれています。大前提として、これらの見込みは嘘で塗り固められているのですが、今回はその見込みが正確であると仮定して話を進めます。

言われた金額を満期まで預けておけば、見込みのリターンが得られるとしても、現実にはそれができない事情が発生します。「ちょっと相場が下振れしたから不安になって」「一時的に現金が必要になって」といった理由で解約したり、一部資金を引き揚げたりしたら、最初の条件が変わってしまうため見込み通りのリターンは得られません。

深さが50cmの川は、大人であれば安全に遊ぶことができるでしょう。しかし、平均の深さが50cmの川だったらどうでしょうか。平均50cmですから、深さ10cmのところもあれば、1mや2mの場所もあるかもしれません。そのような場所で遊ぶのは危険が伴う可能性があります。深さ2mの場所で溺れたときに、「平均50cmって言ってたのに！」と思っても後の祭りです。

十分な試行回数があれば、結果は期待値に収束します。しかし個人では、収束する程度に十分な回数のチャレンジをできないケースも多いでしょう。そこで、期待値だけでなく下振れする可能性がどれくらいか、下振れしたときのダメージはどれくらいか確認することが重要になってきます。もしあなたが、下振れする確率とそのダメージを許容できないのであれば、期待値がプラスであってもその意思決定は見送るべきでしょう。