帽子の色当てパズル（難しめ）

帽子の色当てパズルを知っているでしょうか。他の人の帽子の色を参考にして、自分の帽子の色を当てる論理パズルです。「帽子の色　パズル」などのワードで検索すれば様々な問題が出てきます。今回は、あまり有名ではないちょっと難しめな問題を紹介します。

あなたは3人でチームを組んでで帽子の色当てゲームに参加することになりました。3人は目隠しをされた状態で赤または白の帽子をかぶらされます。どちらの色の帽子をかぶらされるかは五分五分です。その後3人は目隠しを外されて、仲間の帽子の色を確認することができます。目隠しを外された後、3人は同時に自分の帽子の色が赤なのか白なのか答えます。ただし、それぞれ答えを言わずにパスすることもできます。その他、ゲームのルールは以下の通りです。

【ゲームのルール】
・1人以上が自分の帽子の色を正解して、かつ不正解者がいなければ勝ち
・正解を〇、不正解を×、パスをPと表わすと
　〇 P P ⇒ 条件を満たすので勝ち
　〇 P × ⇒ 不正解者がいるので負け
　P P P ⇒ 正解者がいないので負け
・ゲームが始まる前に打ち合わせをすることは自由
・表情、動き、声などで仲間の帽子の色を伝えることはできない

このルールで、チームが勝つ確率を最大化する作戦を考えてみてください。

3人がそれぞれ赤か白かランダムに答えると、チームが勝つ確率は2分の1の3乗で12.5%となります。全員が答えるのは分が悪そうですね。そこで、事前の打ち合わせで誰か一人解答者を決めて、他の2人はパスするという作戦はどうでしょうか。この作戦だと、チームが勝つ確率は50%です。仲間の帽子の色が何であろうと自分の帽子の色を確定するヒントにはならない以上、この作戦がベストのように思えます。しかし、50%より勝率が高い作戦があるのです。
勝率が最大になる作戦は以下の通りです。「2人の帽子の色が同じであれば、違う色を答える（例えば、2人の帽子の色が赤であれば自分は「白」と答える）。2人の帽子の色が異なればパスする」なぜこれで勝率が最大になるのか解説します。3人の帽子の色のパターンは以下の8通りです。

１．　赤　赤　赤
２．　赤　白　赤
３．　赤　赤　白
４．　赤　白　白
５．　白　赤　赤
６．　白　白　赤
７．　白　赤　白
８．　白　白　白

パターン1の場合、全員他の2人の帽子は赤に見えるので、全員「白」と答えます。結果、チームは負けます。パターン8の場合も同様に負けです。パターン2の場合、赤い帽子をかぶったメンバーから見える他の2人の帽子の色は赤と白です。色が異なるので、パスします。白い帽子をかぶった1人は、他の2人の帽子の色は両方赤なので、自分の帽子の色は「白」と答えて正解します。1人が正解して、他の2人はパスということで勝ちになります。パターン3から7も同様に勝ちになります。ということで、この作戦を使うと8分の6、75%の確率で勝つことができます。
一見、仲間の帽子の色がわかっても自分の帽子の色がわかるヒントにはならなそうなのに実はヒントになっているというのが面白いところだと思いませんか。